Drugi pismeni - 8 razred

Drugi pismeni zadatak - 7 razred

Prođe smak sveta, hajde sad da radimo 2...

Preživeli smo smak sveta, vreme je da malo vežbamo matematiku...
slede zadaci za učenike osmog razreda
Zadaci su postupno i detaljno rešeni...

Prođe smak sveta, hajde da radimo...

Preživeli smo smak sveta, hajde da sad malo vežbamo matematiku
slede zadaci za učenike sedmog razreda
Zadaci su kompletno i postupno rešeni

Обавештење

Na novom blogu pod imenom 

matematikazasve

od sada možete naći kompletne dnevne pripreme koje koristim u nastavi.

(kliknite na link koji vas vodi ka tom blogu)

Полиноми - увод

Површина правилне призме

ово је презентација са часа утврђивања површине призме

Тачка, права и раван

Zadaci za dodatnu nastavu

Неједначине - разни задаци

Питагорина теорема и примене - задаци за вежбање

Ево мало задатака везаних за Питагорину теорему са применом подељених по нивоима:

Основни ниво:

1.       Израчунати хипотенузу правоуглог троугла чије су катете 5cm и 12cm.

2.       Обим квадрата је 20cm. Одреди дужину његове дијагонале?

3.       Да ли дужи чије су дужине 5cm, 8cm и 10cm могу формирати правоугли троугао?

4.       Одреди површину једнакостраничног троугла ако је његова страница 4cm.

5.       Одреди обим и површину једнакокраког трапеза чија је дужа основица 15cm, углови на њој по 45^о и краћа основица 5cm.

6.       Конструиши на бројевној правој √5.

Средњи ниво:

1.       Ако је дужа катета правоуглог троугла 12cm а хипотенуза за 1cm дужа од ње, одреди краћу катету.

2.       Одреди обим квадрата чија је дијагонала 8√2 cm.

3.       Ако је обим једнакокраког троугла 32cm а његова основица 12cm, одреди му обим и површину.

4.       Одреди површину ромба чија је једна дијагонала 24cm и страница 20cm.

5.       Израчунај површину трапеза ABCD (AB||CD) ако је крак BC=17cm, основица CD=16cm, дијагонала AC=25cm и висина h=15cm.

6.       Конструиши на бројевној правој √13.

Напредни ниво:

1.       Одреди висину која одговара хипотенузи правоуглог троугла ако су његове катете 6cm и 8cm.

2.       Израчунај обим једнакокраког трапеза ако су му углови на доњој основици по 45^о, висина му је 2√2 и површина 32cm².

3.       Висина једнакостраничног троугла је 6cm. Одреди обим и површину тог троугла.

4.       Дијагонале ромба имају дужине 32cm и 24cm. Одреди полупречник његове  уписане кружнице

5.       На бројевној правој конструиши √12.

Задатак са тежишним дужима

Ево лепог задатка за оне ученике који су лепо разумели Питагорину теорему и њене примене:
Доказати да за тежишне дужи правоуглог троугла са катетама a и b и хипотенузом с важи да је

t_a²+t_b²=5t_c²

Примене Питагорине теореме

Питагорина теорема

Фотографија Питагорине бисте која се данас налази у Риму

Питагора (око 570-495 п.н.е.)  старогрчки математичар, филозоф пореклом са острва Самос. Сматра се да је био Талесов ученик. Иако је испитивање везано за односе страница правоуглог троугла било присутно и много пре Питагоре, једна од најпознатијих теорема у математици носи његово име јер се сматра да је он први доказао само тврђење. Сама теорема гласи:

"у правоуглом троуглу квадрат хипотенузе једнак је збиру квадрата над његовим катетама"

Ако катете обележимо са a и b, хипотенузу са с, онда имамо:

a²+b²=c²

Дакле, теорема нам пружа везу између страница правоуглог троугла, тако да можемо израчунати трећу страницу ако су нам познате две.

Важи и теорема обрнута Питагориној, тј. ако за неке три странице важи горња једнакост, онда те три странице формирају правоугли троугао.

Интересантно је запажање да због сличности троуглова, ако за странице a,b,c важи да формирају правоугли троугао онда правоугли троугао формирају и странице ka, kb, kc. Познате су многе такве "целобројне" тројке као нпр.

3-4-5,
6-8-10,
12-16-20,
15-20-25,
5-12-13,
10-24-26,
15-36-39,
8-15-17,
12-35-37 итд.

На крају овог кратког прегледа Питагорине теореме напоменимо да највећа снага теореме лежи у веома великим могућностима примене, јер се може применити свуда где можемо уочити правоугли троугао, чему ћемо се више посветити у наредним постовима.

Примена једначина - разни задаци

Примена линеарних једначина

      Највећа снага једначина заправо и лежи у њиховим применама на решавање разних класа проблема. У пракси се често сусрећемо са случајем да немамо конкретну једначину као задатак, већ да испред себе имамо проблем за који је најпре након анализе потребно изградити такозвани математички модел проблема који се заправо своди на постављање једначине.

     У оваквим случајевима након сагледавања проблема који решавамо потребно је најпре направити избор непознате променљиве ("шта ће да ми буде х?"). У овој фази често је од помоћи на адекватан и прегледан начин представити услове проблема тј. ситуације у којој се налазимо. Општег шаблона нема, некада је довољно податке представити табелом (у случају проблема са годинама обично је то ситуација "сада" и "после") , некада скица кретања од места А до места В до места сусрета, у проблемима везаним за геометрију можемо скицирати троугао, четвороугао итд. 

     Тек након добре анализе и представљања услова - података и након што одаберемо шта ће нам представљати непознату, пратећи везе које постоје у проблему формирамо једначину и приступамо њеном решавању.

     За разлику од класичног решавања једначина битан моменат који треба истаћи код оваквих проблемских задатака јесте логичност решења. Иако то из године у годину понављам ученицима, увек се нађе неки ученик који "реши" проблем година оца и сина и добије решење да рецимо отац има 12 година а син 145. Такође треба имати на уму да страница било које фигуре не може бити негативна, да се бицикл тешко може кретати брзином од 200км на сат и тако даље.

     Саме проблеме које решавамо обично делимо у неколико група:

• проблеми са бројевима
• проблеми са годинама (одређивање година појединих особа...)
• проблеми из геометрије (странице, углови, обим, површине...)
• проблеми кретања (проблеми из физике...)
• "економски" проблеми (расподела новца, каматни рачун...)
• разни проблеми "из живота" (садња стабала, кречење, време завршетка неког посла...)

Линеарне једначине - примери

Неколицина примера линеарних једначина за решавање

Реални бројеви

ево прилике за систематизацију знања ученика седмог разреда:

Сличност и Талес - Вежбање

Мало задатака за вежбање (осми разред)

Табела квадрата и корена

n	n*n	√n		n	n*n	√n
1	1	1,0000		26	676	5,0990
2	4	1,4142		27	729	5,1962
3	9	1,7321		28	784	5,2915
4	16	2,0000		29	841	5,3852
5	25	2,2361		30	900	5,4772
6	36	2,4495		31	961	5,5678
7	49	2,6458		32	1024	5,6569
8	64	2,8284		33	1089	5,7446
9	81	3,0000		34	1156	5,8310
10	100	3,1623		35	1225	5,9161
11	121	3,3166		36	1296	6,0000
12	144	3,4641		37	1369	6,0828
13	169	3,6056		38	1444	6,1644
14	196	3,7417		39	1521	6,2450
15	225	3,8730		40	1600	6,3246
16	256	4,0000		41	1681	6,4031
17	289	4,1231		42	1764	6,4807
18	324	4,2426		43	1849	6,5574
19	361	4,3589		44	1936	6,6332
20	400	4,4721		45	2025	6,7082
21	441	4,5826		46	2116	6,7823
22	484	4,6904		47	2209	6,8557
23	529	4,7958		48	2304	6,9282
24	576	4,8990		49	2401	7,0000
25	625	5,0000		50	2500	7,0711