Citat

недеља, 23. децембар 2012.

Prođe smak sveta, hajde sad da radimo 2...

Preživeli smo smak sveta, vreme je da malo vežbamo matematiku...
slede zadaci za učenike osmog razreda
Zadaci su postupno i detaljno rešeni...

Prođe smak sveta, hajde da radimo...

Preživeli smo smak sveta, hajde da sad malo vežbamo matematiku
slede zadaci za učenike sedmog razreda
Zadaci su kompletno i postupno rešeni

среда, 19. децембар 2012.

Обавештење

Na novom blogu pod imenom 
od sada možete naći kompletne dnevne pripreme koje koristim u nastavi.
(kliknite na link koji vas vodi ka tom blogu)


уторак, 27. новембар 2012.

недеља, 21. октобар 2012.

Неједначине - разни задаци

Питагорина теорема и примене - задаци за вежбање

Ево мало задатака везаних за Питагорину теорему са применом подељених по нивоима:



Основни ниво:
1.       Израчунати хипотенузу правоуглог троугла чије су катете 5cm и 12cm.
2.       Обим квадрата је 20cm. Одреди дужину његове дијагонале?
3.       Да ли дужи чије су дужине 5cm, 8cm и 10cm могу формирати правоугли троугао?
4.       Одреди површину једнакостраничног троугла ако је његова страница 4cm.
5.       Одреди обим и површину једнакокраког трапеза чија је дужа основица 15cm, углови на њој по 45о и краћа основица 5cm.
6.       Конструиши на бројевној правој 5.
Средњи ниво:
1.       Ако је дужа катета правоуглог троугла 12cm а хипотенуза за 1cm дужа од ње, одреди краћу катету.
2.       Одреди обим квадрата чија је дијагонала 82 cm.
3.       Ако је обим једнакокраког троугла 32cm а његова основица 12cm, одреди му обим и површину.
4.       Одреди површину ромба чија је једна дијагонала 24cm и страница 20cm.
5.       Израчунај површину трапеза ABCD (AB||CD) ако је крак BC=17cm, основица CD=16cm, дијагонала AC=25cm и висина h=15cm.
6.       Конструиши на бројевној правој 13.
Напредни ниво:
1.       Одреди висину која одговара хипотенузи правоуглог троугла ако су његове катете 6cm и 8cm.
2.       Израчунај обим једнакокраког трапеза ако су му углови на доњој основици по 45о, висина му је 22 и површина 32cm2.
3.       Висина једнакостраничног троугла је 6cm. Одреди обим и површину тог троугла.
4.       Дијагонале ромба имају дужине 32cm и 24cm. Одреди полупречник његове  уписане кружнице
5.       На бројевној правој конструиши 12.


четвртак, 18. октобар 2012.

Задатак са тежишним дужима

Ево лепог задатка за оне ученике који су лепо разумели Питагорину теорему и њене примене:
Доказати да за тежишне дужи правоуглог троугла са катетама a и b и хипотенузом с важи да је



ta2+tb2=5tc2


Примене Питагорине теореме




Питагорина теорема

Фотографија Питагорине бисте која се данас налази у Риму

Питагора (око 570-495 п.н.е.)  старогрчки математичар, филозоф пореклом са острва Самос. Сматра се да је био Талесов ученик. Иако је испитивање везано за односе страница правоуглог троугла било присутно и много пре Питагоре, једна од најпознатијих теорема у математици носи његово име јер се сматра да је он први доказао само тврђење. Сама теорема гласи:

"у правоуглом троуглу квадрат хипотенузе једнак је збиру квадрата над његовим катетама"

Ако катете обележимо са a и b, хипотенузу са с, онда имамо:

a2+b2=c2

Дакле, теорема нам пружа везу између страница правоуглог троугла, тако да можемо израчунати трећу страницу ако су нам познате две.
Важи и теорема обрнута Питагориној, тј. ако за неке три странице важи горња једнакост, онда те три странице формирају правоугли троугао.
Интересантно је запажање да због сличности троуглова, ако за странице a,b,c важи да формирају правоугли троугао онда правоугли троугао формирају и странице ka, kb, kc. Познате су многе такве "целобројне" тројке као нпр.
3-4-5,
6-8-10,
12-16-20,
15-20-25,
5-12-13,
10-24-26,
15-36-39,
8-15-17,
12-35-37 итд.

На крају овог кратког прегледа Питагорине теореме напоменимо да највећа снага теореме лежи у веома великим могућностима примене, јер се може применити свуда где можемо уочити правоугли троугао, чему ћемо се више посветити у наредним постовима.

среда, 10. октобар 2012.

Примена једначина - разни задаци


Примена линеарних једначина

      Највећа снага једначина заправо и лежи у њиховим применама на решавање разних класа проблема. У пракси се често сусрећемо са случајем да немамо конкретну једначину као задатак, већ да испред себе имамо проблем за који је најпре након анализе потребно изградити такозвани математички модел проблема који се заправо своди на постављање једначине.
     У оваквим случајевима након сагледавања проблема који решавамо потребно је најпре направити избор непознате променљиве ("шта ће да ми буде х?"). У овој фази често је од помоћи на адекватан и прегледан начин представити услове проблема тј. ситуације у којој се налазимо. Општег шаблона нема, некада је довољно податке представити табелом (у случају проблема са годинама обично је то ситуација "сада" и "после") , некада скица кретања од места А до места В до места сусрета, у проблемима везаним за геометрију можемо скицирати троугао, четвороугао итд. 
     Тек након добре анализе и представљања услова - података и након што одаберемо шта ће нам представљати непознату, пратећи везе које постоје у проблему формирамо једначину и приступамо њеном решавању.
     За разлику од класичног решавања једначина битан моменат који треба истаћи код оваквих проблемских задатака јесте логичност решења. Иако то из године у годину понављам ученицима, увек се нађе неки ученик који "реши" проблем година оца и сина и добије решење да рецимо отац има 12 година а син 145. Такође треба имати на уму да страница било које фигуре не може бити негативна, да се бицикл тешко може кретати брзином од 200км на сат и тако даље.
     Саме проблеме које решавамо обично делимо у неколико група:
  • проблеми са бројевима
  • проблеми са годинама (одређивање година појединих особа...)
  • проблеми из геометрије (странице, углови, обим, површине...)
  • проблеми кретања (проблеми из физике...)
  • "економски" проблеми (расподела новца, каматни рачун...)
  • разни проблеми "из живота" (садња стабала, кречење, време завршетка неког посла...)

понедељак, 01. октобар 2012.

петак, 28. септембар 2012.

Реални бројеви

ево прилике за систематизацију знања ученика седмог разреда:

петак, 14. септембар 2012.

Табела квадрата и корена


n n*n √n   n n*n √n
1 1 1,0000   26 676 5,0990
2 4 1,4142   27 729 5,1962
3 9 1,7321   28 784 5,2915
4 16 2,0000   29 841 5,3852
5 25 2,2361   30 900 5,4772
6 36 2,4495   31 961 5,5678
7 49 2,6458   32 1024 5,6569
8 64 2,8284   33 1089 5,7446
9 81 3,0000   34 1156 5,8310
10 100 3,1623   35 1225 5,9161
11 121 3,3166   36 1296 6,0000
12 144 3,4641   37 1369 6,0828
13 169 3,6056   38 1444 6,1644
14 196 3,7417   39 1521 6,2450
15 225 3,8730   40 1600 6,3246
16 256 4,0000   41 1681 6,4031
17 289 4,1231   42 1764 6,4807
18 324 4,2426   43 1849 6,5574
19 361 4,3589   44 1936 6,6332
20 400 4,4721   45 2025 6,7082
21 441 4,5826   46 2116 6,7823
22 484 4,6904   47 2209 6,8557
23 529 4,7958   48 2304 6,9282
24 576 4,8990   49 2401 7,0000
25 625 5,0000   50 2500 7,0711