Citat

недеља, 21. октобар 2012.

Неједначине - разни задаци

Питагорина теорема и примене - задаци за вежбање

Ево мало задатака везаних за Питагорину теорему са применом подељених по нивоима:



Основни ниво:
1.       Израчунати хипотенузу правоуглог троугла чије су катете 5cm и 12cm.
2.       Обим квадрата је 20cm. Одреди дужину његове дијагонале?
3.       Да ли дужи чије су дужине 5cm, 8cm и 10cm могу формирати правоугли троугао?
4.       Одреди површину једнакостраничног троугла ако је његова страница 4cm.
5.       Одреди обим и површину једнакокраког трапеза чија је дужа основица 15cm, углови на њој по 45о и краћа основица 5cm.
6.       Конструиши на бројевној правој 5.
Средњи ниво:
1.       Ако је дужа катета правоуглог троугла 12cm а хипотенуза за 1cm дужа од ње, одреди краћу катету.
2.       Одреди обим квадрата чија је дијагонала 82 cm.
3.       Ако је обим једнакокраког троугла 32cm а његова основица 12cm, одреди му обим и површину.
4.       Одреди површину ромба чија је једна дијагонала 24cm и страница 20cm.
5.       Израчунај површину трапеза ABCD (AB||CD) ако је крак BC=17cm, основица CD=16cm, дијагонала AC=25cm и висина h=15cm.
6.       Конструиши на бројевној правој 13.
Напредни ниво:
1.       Одреди висину која одговара хипотенузи правоуглог троугла ако су његове катете 6cm и 8cm.
2.       Израчунај обим једнакокраког трапеза ако су му углови на доњој основици по 45о, висина му је 22 и површина 32cm2.
3.       Висина једнакостраничног троугла је 6cm. Одреди обим и површину тог троугла.
4.       Дијагонале ромба имају дужине 32cm и 24cm. Одреди полупречник његове  уписане кружнице
5.       На бројевној правој конструиши 12.


четвртак, 18. октобар 2012.

Задатак са тежишним дужима

Ево лепог задатка за оне ученике који су лепо разумели Питагорину теорему и њене примене:
Доказати да за тежишне дужи правоуглог троугла са катетама a и b и хипотенузом с важи да је



ta2+tb2=5tc2


Примене Питагорине теореме




Питагорина теорема

Фотографија Питагорине бисте која се данас налази у Риму

Питагора (око 570-495 п.н.е.)  старогрчки математичар, филозоф пореклом са острва Самос. Сматра се да је био Талесов ученик. Иако је испитивање везано за односе страница правоуглог троугла било присутно и много пре Питагоре, једна од најпознатијих теорема у математици носи његово име јер се сматра да је он први доказао само тврђење. Сама теорема гласи:

"у правоуглом троуглу квадрат хипотенузе једнак је збиру квадрата над његовим катетама"

Ако катете обележимо са a и b, хипотенузу са с, онда имамо:

a2+b2=c2

Дакле, теорема нам пружа везу између страница правоуглог троугла, тако да можемо израчунати трећу страницу ако су нам познате две.
Важи и теорема обрнута Питагориној, тј. ако за неке три странице важи горња једнакост, онда те три странице формирају правоугли троугао.
Интересантно је запажање да због сличности троуглова, ако за странице a,b,c важи да формирају правоугли троугао онда правоугли троугао формирају и странице ka, kb, kc. Познате су многе такве "целобројне" тројке као нпр.
3-4-5,
6-8-10,
12-16-20,
15-20-25,
5-12-13,
10-24-26,
15-36-39,
8-15-17,
12-35-37 итд.

На крају овог кратког прегледа Питагорине теореме напоменимо да највећа снага теореме лежи у веома великим могућностима примене, јер се може применити свуда где можемо уочити правоугли троугао, чему ћемо се више посветити у наредним постовима.

среда, 10. октобар 2012.

Примена једначина - разни задаци


Примена линеарних једначина

      Највећа снага једначина заправо и лежи у њиховим применама на решавање разних класа проблема. У пракси се често сусрећемо са случајем да немамо конкретну једначину као задатак, већ да испред себе имамо проблем за који је најпре након анализе потребно изградити такозвани математички модел проблема који се заправо своди на постављање једначине.
     У оваквим случајевима након сагледавања проблема који решавамо потребно је најпре направити избор непознате променљиве ("шта ће да ми буде х?"). У овој фази често је од помоћи на адекватан и прегледан начин представити услове проблема тј. ситуације у којој се налазимо. Општег шаблона нема, некада је довољно податке представити табелом (у случају проблема са годинама обично је то ситуација "сада" и "после") , некада скица кретања од места А до места В до места сусрета, у проблемима везаним за геометрију можемо скицирати троугао, четвороугао итд. 
     Тек након добре анализе и представљања услова - података и након што одаберемо шта ће нам представљати непознату, пратећи везе које постоје у проблему формирамо једначину и приступамо њеном решавању.
     За разлику од класичног решавања једначина битан моменат који треба истаћи код оваквих проблемских задатака јесте логичност решења. Иако то из године у годину понављам ученицима, увек се нађе неки ученик који "реши" проблем година оца и сина и добије решење да рецимо отац има 12 година а син 145. Такође треба имати на уму да страница било које фигуре не може бити негативна, да се бицикл тешко може кретати брзином од 200км на сат и тако даље.
     Саме проблеме које решавамо обично делимо у неколико група:
  • проблеми са бројевима
  • проблеми са годинама (одређивање година појединих особа...)
  • проблеми из геометрије (странице, углови, обим, површине...)
  • проблеми кретања (проблеми из физике...)
  • "економски" проблеми (расподела новца, каматни рачун...)
  • разни проблеми "из живота" (садња стабала, кречење, време завршетка неког посла...)

понедељак, 01. октобар 2012.